卮言

只能短暂 所以大嚷

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multigrid method 多重网格方法
elliptic boundary value problem 椭圆边值问题
nonelliptic features 非椭圆性质
second-order scalar 2D PDE 二阶二维标量偏微分方程

多重网格方法能高效求解椭圆边值问题，也能应用到具有非椭圆性质的偏微分方程求解。

[[h-ellipticity measure]] 椭圆性度量。椭圆性度量能够衡量偏微分方程的离散格式是否适合使用多重网格方法，它与方程的连续形式并无直接关系。

time-type problems
space-type problems

cartesian grid

boundary-fitted grid
block-structed boundary-fitted grid
unstructured grid
overlapping grid

非结构网格细化容易粗化难。

未知量在网格中的排列：

  1. vertex-centered grid
  2. cell-centered grid
  3. staggered grid

discrete differential operator
grid function
grid operator

vector and matrix

Gauss-Seidel-type relaxation method
iteration method
Jacobi-type relaxation method
ω\omega-(damped) Jacobi relaxation (ω\omega-JAC)

lexiographic ordering

Gauss-Seidel red-black method (GS-RB) method

(ω\omega-GS-LEX) method
smoothing factor

injection restriction

对于Dirichlet边界，eliminated boundary conditions需要在边界处修改差分模板，noneliminated boundary conditions可以在所有内点使用五点差分格式（five point difference stencil）。Dirichlet边界上的未知量可以直接设定。

光滑过程由内点的迭代和边界点的迭代构成，
边界上的误差传递和内点的误差传递也是不相同的。

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我们考虑如下缩放了的稳态NS方程：

−νΔu+u⋅∇u+∇p=f in Ω,t>0,∇⋅u=0 in Ω,t>0,u=gD on ∂ΩD,ν∂u∂n−pn=gN on ∂ΩNu=u0 in Ω,t=0.\begin{array}{rrlr}-\nu \Delta \boldsymbol{u}+\boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}+\nabla p & =&\boldsymbol{f} & & \text { in } \Omega, t>0, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{u} & =&0 & &\text { in } \Omega, t>0, \\ \boldsymbol{u} & =&\boldsymbol{g}_D & & \text { on } \partial \Omega_D, \\ \nu \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{n}}-p \boldsymbol{n} & =&\boldsymbol{g}_N && \text { on } \partial \Omega_N \\ \boldsymbol{u} & =&\boldsymbol{u}_0 & & \text { in } \Omega, t=0 .\end{array}

任何一处的边界条件可以有四种情况：

  1. 法向速度确定，切向速度确定
  2. 法向外力确定，切向速度确定
  3. 法向速度确定，切向外力确定
  4. 法向外力确定，切向外力确定。

对于管道流，管道壁的切向和法向流速确定，入口和出口的压强确定，边界条件应该使用1、4的组合。用P2-P1混合有限元方法求解此稳态NS方程，由于我们知道的是压强，而不是gN\mathbf{g}_N，因此在FEniCS中应写成(dot(pressure_inflow*n, v) - dot(nu*nabla_grad(u)*n, v))*ds(marker_inflow)，但是这样做会有收敛性问题。我尝试删去 ν∂u∂n\nu \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial\mathbf{n}}这一项，将FEniCS代码改成了(dot(pressure_inflow*n, v))*ds(marker_inflow)，不再有收敛性问题，但是这样得到的解还是原方程的解吗？

σ\mathbf{\sigma}

σ\boldsymbol{\sigma}

Σ\Sigma

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在obsidian建立wiki文档，在使用了Hexo的网站中发布。双中括号不是markdown的语言，因此需要自己写代码进行转换。

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这株无尽夏已经陪我走过了两年。刚买来时，她刚刚开花，但未完全长开，我就这样看着她慢慢长大，慢慢变蓝。她太美好了，我认为这不会长长久久，在我心里，她会离我而去，她曾短暂地给了我无与伦比的快乐，这已足够。

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简单记录平时遇到的一些技术问题。

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对我来说，个人网站，即使只有我自己看，我也想把它打扮得漂漂亮亮的，把自己喜欢的东西放上去。搭建个人网站需要考虑的东西还是挺多的。首先，建设和维护的成本要低，用户访问的速度要快，我的方案是使用国外免费的网站托管服务，通过国内的云服务商提供的CDN服务加速。其次，网站要简洁，可以自由地加东西。我使用过Jkeyll，但是觉得它可自由改动的地方太少了，最后选择了Hexo。Hexo有很多主题，我尝试过Stellar，但是觉得它不够简洁，最后选择了Next。最近参考了 班班 的博客重新设计了自己的博客，打算写个总结。