时变弹性模型
德宝1经常使用的 Time-varying Elastance 模型 23，计算主动张力 ($T_{\mathrm{a}}$) 这是一个很成熟的模型。
$$ T_{\mathrm{a}}(t,l) = \frac{T_{\mathrm{max}}}{2} \frac{\mathrm{Ca}_{0}^{2}}{\mathrm{Ca}_{0}^{2} + \mathrm{ECa}_{50}^{2}(l)} (1 - \cos(\omega(t,l)))\tag{2.8} $$其中，
- $T_{\mathrm{max}}$ 是最大等长主动张力；
- $\mathrm{Ca}_{0}$ 是细胞内钙离子的峰值浓度
- 长度相关的钙敏感性 $ECa_{50}(l)$ 定义为
其中 $B$ 和 $\mathrm{Ca}_{0\mathrm{max}}$ 是常数; $l_0$ 是能产生主动应力的最小肌节长度 $l$ 是变形后的肌节长度，由下式给出：
$$ l = l_{r} \sqrt{2E_{\mathrm{ff}} + 1} $$其中， $l_{r}$ 是无应力状态下的肌节长度, $E_{\mathrm{ff}}$ 是肌纤维方向的拉格朗日应变 收缩开始后用于描述时间变化的函数 (2.8) 为
$$ \omega(t,l) = \left\{ \begin{array}{ll} \pi \frac{t}{t_{0}} & \text{for } 0 \leqslant t \leqslant t_{0} \\ \pi \frac{t - t_{0} + t_{r}(l)}{t_{r}} & \text{for } t_{0} < t \leqslant t_{0} + t_{r} \\ 0 & \text{for } t > t_{0} + t_{r} \end{array} \right. $$$t_{0}$ 为张力达到峰值的时间, $t_{r}$ 为肌肉舒张的持续时间。
$$ t_{r}(l) = ml + b $$$m$ 和 $b$ 为常数. 最后, 采用主动应力法计算心肌总Cauchy应力.
$$ \sigma = \mathbb{F} \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbb{F}} + \sigma^{\mathrm{a}} - p \mathbb{I} $$其中，$p$ 为Lagrange乘子(施加不可压性质), $\mathbb{I}$ 为单位矩阵。
J. M. Guccione, A. D. McCulloch, Mechanics of active contraction in cardiac muscle: Part I—constitutive relations for fiber stress that describe deactivation, J. Biomech. Eng., 115 (1993), 72–81. https://doi.org/10.1115/1.2895473 ↩︎
K. L. Sack, E. Aliotta, D. B. Ennis, J. S. Choy, G. S. Kassab, J. M. Guccione, et al., Construction and validation of subject-specific biventricular finite-element models of healthy and failing swine hearts from high-resolution dt-mri, Front. Physiol., 9 (2018). https://doi.org/10.3389/fphys.2018.00539 ↩︎
Effects of dispersed fibres in myocardial mechanics, Part II: active response ↩︎