半拉格朗日方法

半拉格朗日方法是一种处理流动问题中对流项的方法。

完成对流项后，可以通过两个基准算例来验证程序，一个是Gaussian-cone问题，另一个是耦合Burgers方程。

二维Gaussian-cone问题

考虑定义在二维区域$\Omega=[0,1]\times[0,1],t\in[0,1]$上的Gaussian-cone问题

其中$a$、$b$分别表示流体在 $x$ 、 $y$ 方向的流动速度，取 $a=b=0.8$，$\nu=1/Re$表示流体扩散速度。式(4-10)的初值条件为

精确解为

最主要比较雷诺数高的情况下的误差。

二维Burgers方程

考虑二维区域$\Omega=[0,1]\times[0,1]$的如下耦合方程

其边界条件和初始条件分别为：

其中 u 和 v 分别为沿着 x 轴和 y 轴的速度分量， 定解区域定义在$(x,y,t)\in \Omega\times(0,T]$上。

半拉格朗日方法计算出发点的速度

基本的迭代方式为：速度插值 $\rightarrow$ 更新位置 $\rightarrow$ 速度插值 $\rightarrow$ 更新位置 $\rightarrow$ …。具体来说，$u_i$和$x_i$已知量， $x_d$ 和 $u_d$ 是未知量，$x_i$的初值可以根据未知量在交错网格上的位置给定，$x_d$和$u_d$的初值分别为$x_i$和$u_d$。$x_d$和$u_d$的值可以通过如下步骤更新：

1. $x_d$在$u_i$上的插值可以得到$u_d$
2. 根据$u_d$和$x_i$更新$x_d$

为了验证程序的正确性，可以先给个速度场$u_i$，然后输出$x_i$，$x_d$，$u_d$来判断程序是否正确。